双曲线定义

论文作者:本站 论文来源:本站 发布时间:2020/12/31

1.双曲线定义

平面内与两个定点F1F2距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P{M|||MF1||MF2||2a}|F1F2|2c,其中ac为常数且a>0c>0.

(1)2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;

(2)2a|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;

(3)2a>|F1F2|时,P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

a2(x2)b2(y2)1

(a>0b>0)

a2(y2)b2(x2)1

(a>0b>0)

图形

性质

范围

xaxayR

xRyaya

对称性

对称轴:坐标轴 对称中心:原点

顶点

A1(a,0)A2(a,0)

A1(0,-a)A2(0a)

渐近线

y±a(b)x

y±b(a)x

离心率

ea(c)e(1,+),其中c

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2ba叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长

abc的关系

c2a2b2 (c>a>0c>b>0)

 

概念方法微思考

1.平面内与两定点F1F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么?

提示 不一定.2a|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;

2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;

2a0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么?

提示 A>0B<0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0B>0,表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB<0.

3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,ab只限制a>0b>0,二者没有大小要求,若a>b>0ab>0,0<a<b,双曲线哪些性质受影响?

提示 离心率受到影响.ea(c) 2(b),故当a>b>0时,1<e<,当ab>0时,e(亦称等轴双曲线),当0<a<b时,e>.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )

(2)方程m(x2)n(y2)1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )

(3)双曲线方程m2(x2)n2(y2)λ(m>0n>0λ0)的渐近线方程是m2(x2)n2(y2)0,即m(x)±n(y)0.(  )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(  )

(5)若双曲线a2(x2)b2(y2)1(a>0b>0)b2(x2)a2(y2)1(a>0b>0)的离心率分别是e1e2,则1(2)2(2)1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(  )


题组二 教材改编

2.若双曲线a2(x2)b2(y2)1(a>0b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为(  )

A.   B.5

C.   D.2

答案 A

解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为a(x)±b(y)0,即bx±ay0

2aa2+b2(bc)b.a2b2c25a2c2.

e2a2(c2)5e.

3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为a2(x2)b2(y2)1,双曲线C2的方程为a2(x2)b2(y2)1C1C2的离心率之积为2(3),则C2的渐近线方程为(  )

A.x±y0   B.x±y0

C.x±2y0   D.2x±y0

答案 A

解析 椭圆C1的离心率为a(a2-b2),双曲线C2的离心率为a(a2+b2),所以a(a2-b2)·a(a2+b2)2(3),即a44b4,所以ab,所以双曲线C2的渐近线方程是y±2(1)x,即x±y0.

4.经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

答案 15(x2)15(y2)1

解析 设双曲线的方程为a2(x2)a2(y2)±1(a>0)

把点A(4,1)代入,得a215(舍负)

故所求方程为15(x2)15(y2)1.

题组三 易错自纠

5.(2016·全国)已知方程m2+n(x2)3m2-n(y2)1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )

A.(1,3)   B.(1)

C.(0,3)   D.(0)

答案 A

解析 方程m2+n(x2)3m2-n(y2)1表示双曲线,

(m2n)·(3m2n)>0,解得-m2<n<3m2

由双曲线性质,知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)焦距2c2×2|m|4,解得|m|1

1<n<3,故选A.

6.若双曲线a2(x2)b2(y2)1(a>0b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )

A.3(7)   B.4(5)  

C.3(4)   D.3(5)

答案 D

解析 由条件知y=-a(b)x过点(3,-4)a(3b)4

3b4a9b216a29c29a216a2

25a29c2e3(5).故选D.

7.已知双曲线过点(4),且渐近线方程为y±2(1)x,则该双曲线的标准方程为________________.

答案 4(x2)y21

解析 由双曲线的渐近线方程为y±2(1)x,可设该双曲线的标准方程为4(x2)y2λ(λ0),已知该双曲线过点(4),所以4(42)()2λ,即λ1,故所求双曲线的标准方程为4(x2)y21.


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